3000 Jahre Analysis: Geschichte, Kulturen, Menschen

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In dem Band werden Entstehung und Entwicklung der grundlegenden Begriffe der Analysis von der Antike bis heute ausf hrlich behandelt. Eingebettet sind diese Informationen in die Beschreibung historischer und kultureller Ereignisse, die Lebensl ufe bedeutender Mathematiker und der von ihnen entwickelten Teilgebiete der Analysis. Zahlreiche gezeichnete Figuren veranschaulichen Begriffe, Lehrs tze und Methoden. Jedes Kapitel enth lt eine Tabelle mit den Daten der wesentlichen Ergebnisse und Ereignisse aus 3000 Jahren Analysis.

Vom Zنhlstein zum Computer

3000 Jahre Analysis

ISBN 9783642172038

Vorwort des Autors

Vorwort des Herausgebers

Hinweise für den Leser

Inhaltsverzeichnis

1 Prolog: 3000 Jahre Analysis

1.1 Was ist Analysis?

1.2 Vorlنufer von p

1.3 Das p der Bibel

1.4 Volumen eines Pyramidenstumpfes

1.5 Babylonische Nنherung an v2

2 Das Kontinuum in der griechisch-hellenistischen Antike

2.1 Die Griechen formen die Mathematik

2.1.1 Der Beginn: Thales von Milet und seine Schüler

2.1.2 Die Pythagoreer

2.1.3 Die Proportionenlehre des Eudoxos in Euklids Elementen

2.1.4 Die Methode der Exhaustion – Integration auf griechisch

2.1.5 Das Problem der Kontingenzwinkel

2.1.6 Die drei groكen klassischen Probleme

2.2 Kontinuum versus Atome – Infinitesimale versus Indivisible

2.2.1 Die Eleaten

2.2.2 Atomismus und Kontinuum

2.2.3 Indivisible und Infinitesimale

2.2.4 Die Zenonschen Paradoxien

2.3 Archimedes

2.3.1 Leben, Tod und Anekdoten

2.3.2 Das Schicksal der archimedischen Schriften

2.3.3 Die Methodenschrift: Zugang hinsichtlich der mechanischen Sنtze

2.3.4 Die Quadratur der Parabel durch Exhaustion

2.3.5 ـber Spiralen

2.3.6 Archimedes fنngt p

2.4 Die Beitrنge der Rِmer zur Analysis

2.5 Aufgaben zu Kapitel 2

3 Wie Wissen wanderte – Vom Orient zum Okzident

3.1 Der Niedergang der Mathematik und die Rettung durch die Araber

3.2 Die Beitrنge der Araber zur Analysis

3.2.1 Avicenna (Ibn Sina): Universalgelehrter im Orient

3.2.2 Alhazen (Al-Haitam): Physiker und Mathematiker

3.2.3 Averroës (Ibn Rušd): Aristoteliker im Islam

3.3 Aufgaben zu Kapitel 3

4 Kontinuum und Atomistik in der Scholastik

4.1 Der Wiederbeginn in Europa

4.2 Die groكe Zeit der ـbersetzer

4.3 Das Kontinuum in der Scholastik

4.3.1 Robert Grosseteste

4.3.2 Roger Bacon

4.3.3 Albertus Magnus

4.3.4 Thomas Bradwardine

4.3.5 Nicole Oresme

4.4 Scholastische „Abweichler“

4.5 Nicolaus von Kues

4.5.1 Die mathematischen Werke

4.6 Aufgaben zu Kapitel 4

5 Indivisible und Infinitesimale in der Renaissance

5.1 Renaissance: Die Wiedergeburt der Antike

5.2 Die Schwerpunktrechner

5.3 Johannes Kepler

5.3.1 Neue Stereometrie der Fنsser

5.4 Galileo Galilei

5.4.1 Der Umgang Galileis mit dem Unendlichen

5.5 Cavalieri, Guldin, Torricelli und die hohe Kunst der Indivisiblen

5.5.1 Die Indivisiblenrechnung nach Cavalieri

5.5.2 Die Kritik durch Guldin

5.5.3 Die Kritik durch Galilei

5.5.4 Torricellis scheinbares Paradoxon

5.5.5 De Saint-Vincent und die Flنche unter der Hyperbel

5.6 Aufgaben zu Kapitel 5

6 An der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert

6.1 Analysis vor Leibniz in Frankreich

6.1.1 Frankreich an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert

6.1.2 René Descartes

6.1.3 Pierre de Fermat

6.1.4 Blaise Pascal

6.1.5 Gilles Personne de Roberval

6.2 Analysis vor Leibniz in den Niederlanden

6.2.1 Frans van Schooten jr.

6.2.2 René François Walther de Sluse

6.2.3 Johann van Waveren Hudde

6.2.4 Christiaan Huygens

6.3 Analysis vor Newton in England

6.3.1 Die Entdeckung der Logarithmen

6.3.2 England an der Wende vom 16. zum 17. Jahrhundert

6.3.3 John Napier und die Napierschen Logarithmen

6.3.4 Henry Briggs und seine Logarithmen

6.3.5 England im 17. Jahrhundert

6.3.6 John Wallis und die Arithmetik des Unendlichen

6.3.7 Isaac Barrow und die Liebe zur Geometrie

6.3.8 Die Entdeckung der Reihendarstellung des Logarithmus durch Nicolaus Mercator

6.3.9 Die ersten Rektifizierungen: Harriot und Neile

6.3.10 James Gregory

6.4 Analysis in Indien

6.5 Aufgaben zu Kapitel 6

7 Newton und Leibniz – Giganten und Widersacher

7.1 Isaac Newton

7.1.1 Kindheit und Jugend

7.1.2 Der Student in Cambridge

7.1.3 Der Lucasische Professor

7.1.4 Alchemie, Religion und die groكe Krise

7.1.5 Newton als Prنsident der Royal Society

7.1.6 Das Binomialtheorem

7.1.7 Die Fluxionsrechnung

7.1.8 Der Hauptsatz

7.1.9 Kettenregel und Substitutionen

7.1.10 Das Rechnen mit Reihen

7.1.11 Integration durch Substitution

7.1.12 Newtons letzte Arbeiten zur Analysis

7.1.13 Differentialgleichungen bei Newton

7.2 Gottfried Wilhelm Leibniz

7.2.1 Kindheit, Jugend und Studium

7.2.2 Leibniz in Mainzer Diensten

7.2.3 Leibniz in Hannover

7.2.4 Der Prioritنtsstreit

7.2.5 Erste Erfolge mit Differenzenfolgen

7.2.6 Die Leibnizsche Notation

7.2.7 Das charakteristische Dreieck

7.2.8 Die unendlich kleinen Grِكen

7.2.9 Das Transmutationstheorem

7.2.10 Das Kontinuitنtsprinzip

7.2.11 Differentialgleichungen bei Leibniz

7.3 Erste Kritik: George Berkeley

7.4 Aufgaben zu Kapitel 7

8 Absolutismus, Aufklنrung, Aufbruch zu neuen Ufern

8.1 Historische Einführung

8.2 Jakob und Johann Bernoulli

8.2.1 Die Variationsrechnung

8.3 Leonhard Euler

8.3.1 Der Funktionsbegriff bei Euler

8.3.2 Das unendlich Kleine bei Euler

8.3.3 Die trigonometrischen Funktionen

8.4 Brook Taylor

8.4.1 Die Taylor-Reihe

8.4.2 Bemerkungen zur Differenzenrechnung

8.5 Colin Maclaurin

8.6 Die Algebraisierung beginnt: Joseph-Louis Lagrange

8.6.1 Lagranges algebraische Analysis

8.7 Fourier Reihen und mehrdimensionale Analysis

8.7.1 Joseph Fourier

8.7.2 Frühe Diskussionen um die Schwingungsgleichung

8.7.3 Partielle Differentialgleichungen und mehrdimensionale Analysis

8.7.4 Eine Vorausschau: Die Bedeutung der Fourier-Reihen für die Analysis

8.8 Aufgaben zu Kapitel 8

9 Auf dem Weg zu begrifflicher Strenge im 19. Jahrhundert

9.1 Vom Wiener Kongress zum Deutschen Kaiserreich

9.2 Die Entwicklungslinien der Analysis im 19. Jahrhundert

9.3 Bernhard Bolzano und die Paradoxien des Unendlichen

9.3.1 Bolzanos Beitrنge zur Analysis

9.4 Die Arithmetisierung der Analysis: Cauchy

9.4.1 Grenzwert und Stetigkeit

9.4.2 Die Konvergenz von Folgen und Reihen

9.4.3 Ableitung und Integral

9.5 Die Entwicklung des Integralbegriffs

9.6 Die finale Arithmetisierung der Analysis: Weierstraك

9.6.1 Die reellen Zahlen

9.6.2 Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Konvergenz

9.6.3 Gleichmنكigkeit

9.7 Richard Dedekind und seine Wegbegleiter

9.7.1 Die Dedekindschen Schnitte

9.8 Aufgaben zu Kapitel 9

10 An der Wende zum 20. Jahrhundert: Mengenlehre und die Suche nach dem wahren Kontinuum

10.1 Von der Gründung des Deutschen Kaiserreiches zu den Weltkatastrophen

10.2 Der heilige Georg erlegt den Drachen: Cantor und die Mengenlehre

10.2.1 Cantors Konstruktion der reellen Zahlen

10.2.2 Cantor und Dedekind

10.2.3 Die transfiniten Zahlen

10.2.4 Die Rezeption der Mengenlehre

10.2.5 Cantor und das unendlich Kleine

10.3 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Paul Du Bois-Reymond

10.4 Auf der Suche nach dem wahren Kontinuum: Die Intuitionisten

10.5 Vektoranalysis

10.6 Differentialgeometrie

10.7 Gewِhnliche Differentialgleichungen

10.8 Partielle Differentialgleichungen

10.9 Die Analysis wird noch mنchtiger: Funktionalanalysis

10.9.1 Grundbegriffe der Funktionalanalysis

10.9.2 Ein geschichtlicher Abriss der Funktionalanalysis

10.10 Aufgaben zu Kapitel 10

11 Ein Kreis schlieكt sich: Infinitesimale in der Nichtstandardanalysis

11.1 Vom Kalten Krieg bis heute

11.1.1 Computer und Sputnikschock

11.1.2 Der „Kalte Krieg“ und sein Ende

11.1.3 Bologna-Reform, Krisen, Terrorismus

11.2 Die Wiedergeburt der unendlich kleinen Zahlen

11.2.1 Die Infinitesimalmathematik im „schwarzen Buch“

11.2.2 Die Nichtstandardanalysis von Laugwitz und Schmieden

11.3 Robinson und die Nichtstandardanalysis

11.4 Nichtstandardanalysis durch Axiomatisierung: Der Ansatz von Nelson

11.5 Nichtstandardanalysis und glatte Welten

11.6 Aufgaben zu Kapitel 11

12 Analysis auf Schritt und Tritt

Literatur

Abbildungsverzeichnis

Personenverzeichnis mit Lebensdaten

Sachverzeichnis

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